Lineêre funksies

Hierdie funksies staan ook bekend as reguitlyn funksies.

Vaardighede

Vaardighede wat bemeester moet word:

• Skryf lineêre vergelykings in die standaard (algemene) vorm
• Bepaal die gradiënt as:
  • Enige twee punte op die lyn gegee is
  • 'n Eweydige lyn gegee is
  • 'n Loodregte lyn gegee is
• Bepaal die vergelyking van 'n reguit lyn as:
  • Twee punte word gegee
  • Die $y$-afsnit en 'n ander punt is gegee
• Skets die reguitlyngrafiek op die volgende metodes:
  • Tabel metode
  • Afsnit metode
  • Gradiënt-$y$-afsnit metode
• Bepaal of:
  • Twee lyne ewewydig is
  • Twee lyne loodreg is
  • Meer as twee punte kolineêr is
• Berekening van koördinate:
  • Bepaal die $y$-koördinaat as $x$-koördinaat gegee is
  • Bepaal die $x$-koördinaat as $y$-koördinaat gegee is
• Bereken lengtes tussen:
  • Punte wat horisontaal langs mekaar lê
  • Punte wat vertikaal onder mekaar lê
  • Punte diagonaal van mekkar lê (Pythagors)

Algemene vorm

Die algemene vorm van die lineêre funksie word gegee deur:

Algemene vorm

$$y=mx+c$$

waar:

• $m$ die gradiënt is, en
• $c$ die $y$-afsnit is.

Die gradiënt

Ons noem die gradiënt ook die helling. Dit sê vir ons hoe styl die funksie is tussen enige twee punte wat op die funksie lê.

Gradiënt

m=​x​2​​−x​1​​​​y​2​​−y​1​​​​

waar (x​1​​;y​1​​) en (x​2​​;y​2​​) enige twee punte op die reguitlyn is.

Ewewydige lyne

Wanneer twee lyne ewewydig (parallel) is, is die gradiënte gelyk. D.w.s. as m​1​​ en m​2​​ onderskeidelik die gradiënte van twee ewewydige reguitlyne is, geld dit dat m​1​​=m​2​​.

Loodregte lyne

Wanneer twee lyne loodreg op mekaar is, is die produk van die gradiëte gelyk aan $-1$. D.w.s. as m​1​​ en m​2​​ onderskeidelik die gradiënte van twee loodregte reguitlyne is, geld dit dat m​1​​×m​2​​=−1.

Kolineêr

Wanneer meer as twee punte kolineêr is, lê al die punte op dieselfde reguitlyn. Indien $A$, $B$ en $C$ drie punte is wat kolineêr is, geld dit dus dat die gradiënte tussen al die punte gelyk is aan mekaar.

m​AB​​=m​BC​​=m​AC​​

Afsnitte

y-afsnit

Stel $x=0$ en los dan op vir $y$. Die $y$-afsnit word ook gegee deur die waarde van $c$ as die funksie in standaard vorm is.

$$\therefore (0;c)$$

x-afsnit

Stel $y=0$ en los dan op vir $x$.

Definisieversameling

Hierdie versameling verteenwoordig die "inset"-waardes en word op die $x$-as afgelees. Daar is in die algemeen geen beperking op die definisieversameling nie.

$$x\in R$$

Waardes kan egter in spesifieke gevalle tot 'n gegewe interval beperk word.

Waardeversameling

Hierdie versameling verteenwoordig die "uitset"-waardes en word op die $y$-as afgelees. Daar is in die algemeen geen beperking op die waardeversameling nie.

$$y\in R$$

Waardes kan egter in spesifieke gevalle tot 'n gegewe interval beperk word.

Spesiale gevalle

Horisontale lyne

Wanneer 'n reguitlyn ewewydig aan die $x$-as is, is die gradiënt nul.

$$\therefore m=0$$

en dus is

$$y=c$$

waar $c$ ook die $y$-afsnit is

Vertikale lyne

Wanneer 'n reguitlyn ewewydig aan die $y$-as is, is die gradiënt oneindig styl.

$$\therefore m=\infty$$

en dus is

$$x=k$$

waar $k$ ook die $x$-afsnit is